John von Neumann: una biografia 

Prima parte, di Ruggero Bergaglio:

Giovinezza e formazione nei primi del ’900 in Ungheria e Germania


Indice generale della biografia


 

1.6 Hilbert e il metodo assiomatico
 

Nei suoi Fondamenti della geometria del 1899, Hilbert aveva ridotto il problema della coerenza della geometria a quello della coerenza dell’insieme dei numeri reali, cioè, dei numeri che vengono associati agli infiniti punti di una retta

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I numeri reali erano stati studiati assiomaticamente e si era dimostrato che la coerenza della loro teoria è una conseguenza della coerenza dell’aritmetica, ovvero del sistema di assiomi che definiscono l’insieme dei numeri interi naturali: 0, 1, 2, 3, …. Tale sistema di assiomi era stato proposto dal matematico italiano Giuseppe Peano. Si fondava sul postulato dell’esistenza di un «primo numero» (lo zero), su quello dell’esistenza del «successivo» di ogni numero e sul cosiddetto «principio d’induzione», secondo cui, se un insieme di numeri contiene lo zero e se, contenendo un numero, contiene anche il suo «successivo», allora contiene tutti i numeri naturali. Le ricerche matematiche sviluppate verso la fine dell’Ottocento conducevano alla conclusione che la chiave di una fondazione soddisfacente dell’intera matematica risiedeva nella coerenza dell’insieme dei numeri naturali, quelli legati all’operazione elementare del contare. Hilbert, invece, non era di tale avviso.


Tuttavia, già due anni dopo iniziò la scoperta di una serie di paradossi o contraddizioni della teoria degli insiemi, che aprirono una crisi profonda. Il più famoso di questi era il paradosso scoperto da Russell nel 1902: se si ammette la nozione di insieme degli «insiemi che non contengono se stessi come elementi», si vede che tale insieme è e non è elemento di se stesso. Infatti, se non lo è, in quanto insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi, lo è; e se lo è, in quanto contiene soltanto insiemi che non contengono se stessi come elementi, non lo è.


Hilbert iniziò a occuparsi in prima persona di questo argomento nel 1904, poi lo lasciò da parte, concentrandosi sullo studio di questioni di analisi e di fisica matematica. Comunque, il tema era divenuto centrale nell’ambiente dei sostenitori del metodo assiomatico hilbertiano, la cui strategia era la ricerca di un’assiomatica della teoria degli insiemi che, eliminando le imprecisioni del linguaggio non formalizzato utilizzato da Cantor, rendesse impossibile l’emergere di antinomie.


Questa tematica aveva appassionato il giovane von Neumann fin dai suoi primi studi matematici. Non dobbiamo dimenticare il lavoro pubblicato nel 1925, che riguardava l’assiomatizzazione della teoria degli insiemi; e la tesi dottorale presentata in Ungheria da von Neumann, su la costruzione assiomatica della teoria degli insiemi.


L’assiomatizzazione da lui proposta per la teoria degli insiemi introduceva la distinzione fra «classi» e «insiemi». L’idea chiave era di considerare un nuovo gruppo di enti, le classi, la cui caratteristica è quella di non poter essere contenuti in altri insiemi o classi, mentre gli insiemi sono particolari classi che possono essere elementi di una classe. Con questa distinzione era possibile eliminare antinomie come quella di Russell.


Il lavoro di von Neumann e gli sviluppi che egli ne diede dopo il 1925 si inserivano in modo spontaneo nel programma di ricerca hilbertiano ed era altrettanto naturale che von Neumann divenisse uno dei più accesi adepti dell’approccio assiomatico della scuola hilbertiana.


Negli anni successivi, il giovane matematico ungherese, affascinato da altri temi di ricerca, distolse la sua attenzione dalle questioni di logica matematica, senza per questo disinteressarsi del programma di Hilbert. Difatti, nel settembre del 1930, egli partecipò a un Congresso sull’Epistemologia delle scienze esatte che si tenne a Königsberg, sotto gli auspici dell’Associazione Ernst Mach e della Società per le scienze empiriche di Berlino, su iniziativa di alcuni esponenti del Circolo di Vienna. Nel corso di questo stesso Congresso: Kurt Gödel annunciò un risultato (il corollario del teorema noto oggi come teorema di incompletezza di Gödel) che, nella versione definitiva, completa di tutte le dimostrazioni e le implicazioni, sarebbe stato pubblicato l’anno seguente. Il risultato di Gödel dimostrava l’impossibilità di conseguire una dimostrazione completa della coerenza dell’aritmetica nel contesto delle regole stabilite per la metamatematica e comportava una sconfitta senza appello del programma hilbertiano.


In realtà, nel corso del Congresso di Königsberg nessuno degli illustri partecipanti si rese subito conto della portata e delle implicazioni del risultato annunciato da Gödel, con la sola eccezione di von Neumann, il quale, dopo la discussione, si incontrò con Gödel per farsi spiegare meglio la sua intuizione e l’approfondì al termine del Congresso. Dopo meno di due mesi scriveva a Gödel annunciando di aver dimostrato l’indimostrabilità della coerenza dell’aritmetica, come conseguenza del teorema di incompletezza. Gödel gli rispose di aver ottenuto nel frattempo lo stesso risultato e gli inviò copia del lavoro già presentato per la pubblicazione.


Von Neumann, successivamente a tale episodio, abbandonò definitivamente le ricerche di logica matematica, ma non l’idea che la logica dovesse avere un ruolo fondamentale nella prassi matematica. Per un verso il risultato di Gödel fu sentito da lui come un’autentica disfatta, che influenzò la sua visione dei limiti del rigore matematico. D’altro lato, però, egli continuò a credere fermamente nel valore della pratica matematica fondata su un approccio logico-formale. Sotto questo profilo, la fiducia nel valore del metodo assiomatico, liberato dai vincoli del programma formalista hilbertiano, divenne un caposaldo del pensiero matematico di von Neumann, il quale si propose, in tal modo, come uno dei principali attori di una ricostruzione «pragmatica» della fiducia dei matematici nel valore della loro disciplina.

 


 

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