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                     II. LA DIMOSTRAZIONE

 

 

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Se analizziamo l’uso del termine nel linguaggio comune, la dimostrazione rimanda all’intenzione del soggetto di far riconoscere come veritiero un assunto o una proposizione. Le espressioni idiomatiche cui il linguaggio ricorre sono principalmente di due tipi: “Vi dimostrerò come …” e “È stato dimostrato come…” essendo l’idea della volontà della dimostrazione da parte del soggetto (Vi dimostrerò) secondaria rispetto alla dimostrazione già acquisita. E mi pare per due motivi: il primo perché la dimostrazione che si vuole mettere in essere attingerà a piene mani dagli schemi e dalle impostazioni di ciò che è già stato dimostrato; ossia attingerà dal patrimonio culturale che continua a resistere agli attacchi del tempo. Il secondo motivo risiede nel fatto che la dimostrazione non solo ha reso conto presso la comunità degli uomini della sua fondatezza del metodo, ma, di più, ha dis-velato una verità (particolare o più universale).

La dimostrazione  parte, infatti, da assunti di base che possono essere o di natura assiomatica o di natura teorematica e che comunque risiedono nell’ambito di un ragionamento deduttivo. L’esempio maggiormente significativo che la storia ci consegna è senza dubbio la geometria di Euclide. Ricorrendo ad un articolato insieme di nozioni (postulati, definizioni, teoremi, corollari) lo spirito matematico degli antichi greci dominò il pensiero scientifico fino al Rinascimento e solo la nascita dell’algebra nel sedicesimo secolo originò un nuovo impulso. Fino alla formulazione del calcolo integrale, in molti seguirono percorsi deduttivi e intuizioni senza un progetto organico che guidasse la disciplina. I contributi furono enormi ma solo con la definizione della teoria ad opera di Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e di Bernhard Riemann (1826-1866) si può parlare di una sua fondazione matematica rigorosa.

Con i suoi risultati senza alcun dubbio eccezionali, la matematica può certamente essere considerata, insieme alla logica, la scienza che tra le altre ha sistematizzato in maniera così rigorosa il suo apparato tanto da essere presa a modello dalle altre scienze ( e infatti sono chiamate  scienze formali), sia dal punto di vista del metodo che dal punto di vista interpretativo della realtà. In molti, infatti, hanno, in svariate epoche e in differenti ambiti, sostenuto come  il linguaggio matematico sia originario rispetto agli altri, ossia come l’insieme degli eventi scientifici e sociali sia quasi sempre interpretabile mediante un modello matematico. Ma quel che qui conta è sottolineare non è tanto se tale affermazione sia epistemicamente vera quanto piuttosto prendere atto del fatto che il rigore delle argomentazioni dimostrative sia stato modello per disciplinare diverse branche del sapere.

Possiamo pertanto affermare  che la dimostrazione parla il linguaggio specifico.

Il ragionamento, infatti, che volesse argomentare senza ricorrere al suo proprio specifico linguaggio, incorrerebbe come minimo nell’accusa di banale generalizzazione e perderebbe la sua pretesa di veridicità.

Già Aristotele aveva affrontato il problema. La sua logica vuole mostrare “come proceda il pensiero quando pensa, quale sia la struttura del ragionamento,..,come sia possibile fornire dimostrazioni, quali tipi di dimostrazioni esistano, di che cosa sia possibile fornire dimostrazioni e quando.”¹

Il nome, cioè organon –strumento-, introdotto da Alessandro di Afrodisia, ben chiarisce il compito e il fine della logica aristotelica. Lo Stagirita chiamava però la logica con il nome analitica ( análysis, cioè risoluzione) per evidenziare “il metodo con cui noi, partendo da una data conclusione, la risolviamo appunto negli elementi da cui deriva, cioè nelle premesse e negli elementi da cui scaturisce e, quindi, la fondiamo e la giustifichiamo.”²

Nelle categorie viene studiata la forma più semplice della logica, considerando di una proposizione gli elementi non ulteriormente indivisibili, cioè le parole di cui non si può dire che siano termini veri o falsi perché le loro sole combinazioni sono suscettibili di giudizi di verità o falsità. “ Delle cose che si dicono senza nessuna connessione, ciascuna significa o la sostanza o la quantità o la qualità o la relazione o il dove  o il quando o l’essere in una posizione o l’avere o il fare o il patire”, dice Aristotele³. E se da una prospettiva metafisica le categorie rappresentano i significati fondamentali dell’essere, dal punto di vista logico esse  dovranno essere i generi sommi ai quali riportare i termini della proposizione.

Così, dopo il discorso sulla generalità delle categorie e della particolarità degli individui che conduce alla definizione (horismós), la quale è il discorso che esprime la natura o la sostanza o l’essenza delle cose, viene esposto il punto fondante ogni dimostrazione, e cioè il giudizio. Unendo i termini tra loro noi enunciamo un giudizio che è l’atto con cui noi affermiamo o neghiamo un concetto di un altro concetto e l’espressione logica del giudizio è l’enunciazione o la proposizione.

Giudizio e proposizione sono dunque  la prima forma di conoscenza: cogliendo un nesso tra soggetto e predicato, percepiamo il vero o il falso. Alla logica però competono solo i discorsi apofantici o dichiarativi che si basano sui giudizi affermativi, negativi, universali, singolari e particolari e sulle modalità con cui congiungiamo soggetto e predicato, a seconda cioè di semplice asserzione, di possibilità o necessità.

Ma noi, si chiede Aristotele a questo punto, siamo in grado di ragionare? Decisamente no, poiché dobbiamo non solo poter elencare giudizi, proposizioni, affermazioni o altro ma dobbiamo poter unire giudizi a giudizi, individuando la consequenzialità e la causalità: cogliendo questi nessi siamo infine capaci di ragionare.

Ed è ben noto quale sia per Aristotele il ragionamento perfetto: il sillogismo.

Che Socrate sia un mortale, ben sappiamo che è la necessaria conclusione della premessa maior et minor da cui scaturisce. : ecco la più perfetta delle figure (schémata) in cui si articola la classificazione del sillogismo. Ma a questo punto si giunge al nodo essenziale per la dimostrazione: il sillogismo, lo si è già chiarito, è secondo Aristotele l’essenza stessa del ragionare; ci mostra pertanto la struttura dell’inferenza, prescindendo però dal  contenuto  di  verità  delle premesse e quindi della conclusione. Ma la dimostrazione ( o sillogismo scientifico o dimostrativo) esige, oltre alla condizione di correttezza formale, la condizione di verità.

“ Le premesse (…) devono essere vere; poi devono essere prime, ossia non bisognose a loro volta di ulteriori dimostrazioni, più note e anteriori, ossia di per sé intelligibili e chiare e più universali delle conclusioni, perché ne debbono contenere la ragione”.

E così le premesse devono essere vere, conosciute in modo altro rispetto all’uso di sillogismi, altrimenti percorreremmo a ritroso una catena infinita. Pertanto necessitiamo di un processo non più deduttivo, come il sillogismo scientifico invece fa deducendo il particolare dall’universale.

Le verità universali si colgono, per lo Stagirita, tramite induzione o tramite intuizione. L’induzione ci conduce dal particolare all’universale, non mediante ragionamento bensì mediante astrazione. L’intuizione è ancora oltre, è cioè il coglimento puro dei principi primi da parte dell’intelletto, il quale, appunto, è capace di intus-ire.

L’intelletto è posto dal Filosofo come l’habitus specifico dell’intuizione, una virtù dianoetica, ossia uno degli abiti superiori razionali dell’uomo. Grazie ad esso percepiamo i principi primi comuni a tutte le scienze e cioè il principio di non-contraddizione, il principio di identità e il principio del tertium non datur. Ed essi sono veri perché così garantiti: sono definizioni, e perciò spiegazioni della sostanza di una cosa; sono assiomi, e cioè asserzioni che non possono essere negate perché chi le nega se ne avvale contemporaneamente negandole (la famosa prova per confutazione o élenchos); sono ipotesi, cioè fondamenti di principi propri di ciascuna scienza particolare; sono infine postulati perché posti anticipatamente per chiarezza o per didattica.

È così chiaro come “il maestro di color che sanno”4 modelli tutta la scienza sulla matematica.

Tante altre sono state le logiche nate da critiche a quella “nata vera”5 di Aristotele, dal Nuovo Organo di Bacone, al Sistema di logica di Stuart Mill, alla logica dell’infinito di Hegel, ma al fine del nostro discorso sulla dimostrazione è sufficiente riferirci ad essa.

Da essa ricaviamo l’impulso necessario a stabilire nei soli limiti della ragione una teoria dimostrativa che si auto-fonda, cioè che non deve essere debitrice verso nessuno delle proprie basi. Ecco l’unico appello, infatti, che la dimostrazione rivolge a colui cui vuole parlare: prendere per buoni dei principi primi non come atto di fede della ragione, ma come abito stesso della ragione.6 Questi stessi principi sono universali, e cioè valgono per qualunque persona e per qualunque tipo di argomentazione si voglia addurre. Viene in tal modo giustificato perché ogni dimostrazione possa valere per ogni scienza. Solo a questo punto subentra la specificità del linguaggio dimostrativo. Il problema delle premesse che pose Aristotele non può essere messo in dubbio;  ma per argomentare di questioni pertinenti una determinata branca del sapere occorre essere specifici e precisi per non incorrere, come già dicevo prime, in banali generalizzazioni o fraintendimenti. Ogni termine del linguaggio rimanda a una ben precisa connotazione semantica, per cui un uso non rigoroso dei termini può inficiare lo stesso procedimento dimostrativo. Possiamo concludere che qualunque scienza deve, durante una dimostrazione, parlare il linguaggio specifico, proprio perché deve poter dire la sua stessa sostanza, garantita in ultima istanza da assiomi condivisi.

Proprio dimostrazioni acquisite e condivise diventano basi a cui poter attingere per nuove dimostrazioni. E così nasce un patrimonio culturale

L’intenzione del soggetto di cui parlavo a inizio paragrafo svolge un ruolo importante perché, sebbene attinga a piene mani da ciò che è già stato dimostrato, aggiunge un nuovo tassello nella mosaico della scoperta, il quale sempre ci sorprende mostrandoci nuove direzioni in cui muoverci.

 

Segue

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1. G. Reale, Il pensiero occidentale dalle origini ad oggi, I, cap 7, pag 155 Editrice La Scuola, 1983

2. Cfr Reale, cap 7, pag 156

3. Aristotele, Trattato sulle categorie

4.Dante, Inferno, IV, 131

5. Kant, il quale nella sua logica trascendentale abbraccia con convinta ammirazione i capisaldi dello Stagirita.

6. I termini ragione e intelletto vengono qui usati liberamente, senza voler abbracciare una posizione di contrasto o di affinità tra i due. Certamente è convinzione di chi scrive che ambedue servano a porsi su una posizione antimetafisica qualora ci si addentri in un discorso scientifico che si voglia basare sulle sole facoltà umane.